少しでも具体的に修理箇所を伝えたいですよね。
しかしながら思い当たる項目が多すぎて、症状だけから故障箇所を特定するのは難しいと思います。
故障箇所を勘ぐるより、信頼できる修理屋さんを探す方が先かもしれませんね。
「ゆっくりと走っていたら、車が揺れだしてエンジン止まった」んですよねえ。
実際に、エンジンが止まるところを体験していないので、状況を正しく理解していないかもしれませんが、ざっと思いつくだけでも
トランスミッションの故障?
車両はオートマ車でしょうか? ある程度スピードが出ている時には問題がないのでしたら
スピードを落としても、ギアが低いギアに変速されない場合があるのかもしれませんね。
・トランス ミッションか、それを制御するコンピュータの故障かもしれません。
エンジン?
エンジンの回転数が、低い場合に発生するのでしたら
エンジンにガソリンが正常に供給されていないのかもしれません。
・インジェクション(エンジンにガソリンを送るもの)の故障
・ガソリンを送るポンプの故障
・ガソリンの供給量を制御するコンピュータ、センサー類の故障
エンジン内のガソリンに着火するシステムの故障?
・点火装置、またはそれえを制御するコンピュータの故障
・プラグの老朽化や、プラグ コードの損傷
などがあるかと思います。